Grenzen Spickzettel
Grenzwerteigenschaften
\mathrm{Wenn\:die\:Grenze\:von\:f(x),\:und\:g(x)\:existiert,\:dann\:gilt:die\:folgende\:}
\lim_{x\to a}(x}=a
\lim_{x\to{a}}[c\cdot{f(x)}]=c\cdot\lim_{x\to{a}}{f(x)}
\lim_{x\to{a}}[(f(x))^c]=(\lim_{x\to{a}}{f(x)})^c
\lim_{x\to{a}}[f(x)\pm{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\pm\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[f(x)\cdot{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\cdot\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{\lim_{x\to{a}}{f(x)}}{\lim_{x\to{a}}{g(x)}}, \quad "where" \: \lim_{x\to{a}}g(x)\neq0
Grenzwert zu Unendlichkeit Eigenschaften
\mathrm{Für}\:\lim_{x\to c}f(x)=\infty, \lim_{x\to c}g(x)=L,\:\mathrm{die\:folgenden\:gelten:}
\lim_{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=\infty
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=\infty, \quad L>0
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=-\infty, \quad L<0
\lim_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=0
\lim_{x\to \infty}(ax^n)=\infty, \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=\infty,\quad \mathrm{n\:ist\:gerade} , \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=-\infty,\quad \mathrm{n\:ist\:ungerade} , \quad a>0
\lim_{x\to \infty}\left(\frac{c}{x^a}\right)=0
0^{0}
\infty^{0}
\frac{\infty}{\infty}
\frac{0}{0}
0\cdot\infty
\infty-\infty
1^{\infty}
Allgemeine Grenzwerte
\lim _{x\to \infty}((1+\frac{k}{x})^x)=e^k
\lim _{x\to \infty}((\frac{x}{x+k})^x)=e^{-k}
\lim _{x\to 0}((1+x)^{\frac{1}{x}})=e
Grenzwertregeln
Grenzwert einer Konstante
\lim_{x\to{a}}{c}=c
Grundlimit
\lim_{x\to{a}}{x}=a
Einschnürungssatz
\mathrm{Lass\:f,\:g\:und\:h\:Funktionen\:sein,\:für\:die\:gilt:\:}\:x\in[a,b]\:\mathrm{(außer\:am\:Grenzwert\:c),}
f(x)\le{h(x)}\le{g(x)}
\mathrm{Angenommen,\:}\lim_{x\to{c}}{f(x)}=\lim_{x\to{c}}{g(x)}=L
\mathrm{dann\:gilt\:für\:jedes\:}a\le{c}\le{b},\:\lim_{x\to{c}}{h(x)}=L
L'Hopitals Regel
\mathrm{Für}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right),
\mathrm{wenn}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{0}{0}\:\mathrm{oder}\:\lim_{x\to\:a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\pm\infty}{\pm\infty},\:\mathrm{dann}
{\lim_{x\to{a}}(\frac{f(x)}{g(x)})=\lim_{x\to{a}}(\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)})}
Divergenzkriterium
\mathrm{Wenn\:zwei\:Sequenzen\:vorliegen,\:}
\left{x_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{\:und\:}\left{y_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{\:mit\:}
x_n\ne{c}\mathrm{\:und\:}y_n\ne{c}
\lim{x_n}=\lim{y_n}=c
\lim{f(x_n)}\ne\lim{f(y_n)}
\mathrm{dann\:existiert\:}\lim_{x\to\:c}f(x)\mathrm{\:nicht}
Limit Chain-Regel
\mathrm{wenn}\:\lim_{u\:\to\:b}\:f(u)=L,\:\mathrm{und}\:\lim_{x\:\to\:a}g(x)=b,\:\mathrm{und}\:f(x)\:\mathrm{kontinuierlich\:ist\:bei}\:x=b
\mathrm{,\:dann:}\:\lim_{x\:\to\:a}\:f(g(x))=L
Algebra
