integral of 1/(4-4sin(x))

Lösung

\int \frac{1}{4 - 4 sin ( x )} d x

- \frac{1}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) - 1 )} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{4 - 4 sin ( x )} d x

\frac{1}{4 - 4 sin ( x )} = \frac{1}{4} \frac{1}{1 - sin ( x )}

= \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 - sin ( x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{1 - sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{2}{1 + u ^{2} - 2 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{1 + u ^{2} - 2 u} d u

Vervollständige das Quadrat

1 + u^{2} - 2 u : (u - 1)^{2}

= \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{( u - 1 ) ^{2}} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2}} d v

Wende die Potenzregel an

= \frac{1}{4} \cdot 2 (- \frac{1}{v})

Ersetze zurück

= \frac{1}{4} \cdot 2 (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} ) - 1})

Vereinfache

\frac{1}{4} \cdot 2 (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}) : - \frac{1}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) - 1 )}

= - \frac{1}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) - 1 )}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) - 1 )} + C