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Beliebt Trigonometrie >

1-2sin(θ)=cos(2θ)

Lösung

1 - 2 sin (θ) = cos (2 θ)

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 - 2 sin (θ) = cos (2 θ)

Subtrahiere

cos (2 θ)

von beiden Seiten

1 - 2 sin (θ) - cos (2 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - cos (2 θ) - 2 sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - 2 sin (θ)

Vereinfache

1 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - 2 sin (θ) : 2 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ)

1 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - 2 sin (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 1 + 2 sin^{2} (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (θ)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ)

= 2 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ)

- 2 sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 2 u + 2 u^{2} = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 2 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 2 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = 0

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = 1, sin (θ) = 0

sin (θ) = 1, sin (θ) = 0

sin (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(pi)

cos (π)

sec^2(1)

sec^{2} (1)

solvefor x,cos^2(x)-sin^2(x)=sin(x)löse nach

x, cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = sin (x)

arcsin(2)

arcsin (2)

cos(4x)=sin(x)

cos (4 x) = sin (x)