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Beliebt Trigonometrie >

(sin(x)+sin^2(x))/2 =0.5

Lösung

\frac{sin ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2} = 0.5

Lösung

x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Grad

x = 38.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 141.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2} = 0.5

Löse mit Substitution

\frac{sin ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2} = 0.5

Angenommen:

sin (x) = u

\frac{u + u ^{2}}{2} = 0.5

\frac{u + u ^{2}}{2} = 0.5 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

\frac{u + u ^{2}}{2} = 0.5

Multipliziere beide Seiten mit

10

\frac{u + u ^{2}}{2} = 0.5

To eliminate decimal points, multiply by 10 for every digit after the decimal pointThere is one digit to the right of the decimal point, therefore multiply by

10

\frac{u + u ^{2}}{2} \cdot 10 = 0.5 \cdot 10

Fasse zusammen

5 (u^{2} + u) = 5

5 (u^{2} + u) = 5

Schreibe

5 (u^{2} + u)

um:

5 u^{2} + 5 u

5 (u^{2} + u)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 5, b = u^{2}, c = u

= 5 u^{2} + 5 u

5 u^{2} + 5 u = 5

Verschiebe

5

auf die linke Seite

5 u^{2} + 5 u = 5

Subtrahiere

5

von beiden Seiten

5 u^{2} + 5 u - 5 = 5 - 5

Vereinfache

5 u^{2} + 5 u - 5 = 0

5 u^{2} + 5 u - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

5 u^{2} + 5 u - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 5, b = 5, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 5 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 5 )}{2 \cdot 5}

5^{2} - 4 \cdot 5 (- 5) = 55

5^{2} - 4 \cdot 5 (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 5 = 100

= 5^{2} + 100

5^{2} = 25

= 25 + 100

Addiere die Zahlen:

25 + 100 = 125

= 125

Primfaktorzerlegung von

125 : 5^{3}

125

125

ist durch

5125 = 25 \cdot 5

teilbar

= 5 \cdot 25

25

ist durch

525 = 5 \cdot 5

teilbar

= 5 \cdot 5 \cdot 5

5

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 5 \cdot 5 \cdot 5

= 5^{3}

= 5^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 5^{2} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 55

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 5}{2 \cdot 5}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 5 + 5 5}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- 5 - 5 5}{2 \cdot 5}

u = \frac{- 5 + 5 5}{2 \cdot 5} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 5 + 5 5}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 5 + 5 5}{10}

Faktorisiere

- 5 + 55 : 5 (- 1 + 5)

- 5 + 55

Schreibe um

= - 5 \cdot 1 + 55

Klammere gleiche Terme aus

5

= 5 (- 1 + 5)

= \frac{5 ( - 1 + 5 )}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

5

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 5 - 5 5}{2 \cdot 5} : - \frac{1 + 5}{2}

\frac{- 5 - 5 5}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 5 - 5 5}{10}

Faktorisiere

- 5 - 55 : - 5 (1 + 5)

- 5 - 55

Schreibe um

= - 5 \cdot 1 - 55

Klammere gleiche Terme aus

5

= - 5 (1 + 5)

= - \frac{5 ( 1 + 5 )}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

5

= - \frac{1 + 5}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{2} :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(b)= 3/5

arctan(1-x)+arctan(1+x)=arctan(1/8)

5sin(4x)=2

2cos^2(x)-sqrt(3)*sin^2(x)-2=0

solvefor x,log_{10}(y)=arctan(x)+c