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Beliebt Trigonometrie >

3sin(x)-4sin^3(x)=1-2sin^2(x)

Lösung

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 1 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 5 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 23 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

Löse mit Substitution

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

Angenommen:

sin (x) = u

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2} : u = 1, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

Verschiebe

2 u^{2}

auf die linke Seite

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

Füge

2 u^{2}

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1 - 2 u^{2} + 2 u^{2}

Vereinfache

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

Verschiebe

1

auf die linke Seite

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 1 - 1

Vereinfache

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1 = 0

Faktorisiere

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1 : - (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1)

Faktorisiere

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1 : (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 1, a_{n} = 4

Die Teiler von

a_{0} : 1,

Die Teiler von

a_{n} : 1, 2, 4

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u - 1

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + 2 u - 1

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} : \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

Quotient = 4 u^{2}

Multipliziere

u - 1

mit

4 u^{2} : 4 u^{3} - 4 u^{2}

Substrahiere

4 u^{3} - 4 u^{2}

von

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 2 u^{2} - 3 u + 1

Deshalb

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u^{2} - 3 u + 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Quotient = 2 u

Multipliziere

u - 1

mit

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Substrahiere

2 u^{2} - 2 u

von

2 u^{2} - 3 u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - u + 1

Deshalb

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= 4 u^{2} + 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- u + 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quotient = - 1

Multipliziere

u - 1

mit

- 1 : - u + 1

Substrahiere

- u + 1

von

- u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

= - (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

- (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 1 = 0 or 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Addiere die Zahlen:

4 + 16 = 20

= 20

Primfaktorzerlegung von

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

Faktorisiere

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

Faktorisiere

- 2 - 25 : - 2 (1 + 5)

- 2 - 25

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1 + 5}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Die Lösungen sind

u = 1, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin^2(a)=((2tan(a)))/((1+tan^2(a)))