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Beliebt Trigonometrie >

2cos^4(x)+8sin^2(x)=5

Lösung

2 cos^{4} (x) + 8 sin^{2} (x) = 5

Lösung

x = 0.86689 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.86689 \dots + 2 πn, x = 2.27469 \dots + 2 πn, x = - 2.27469 \dots + 2 πn

Grad

x = 49.66956 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 310.33043 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 130.33043 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 130.33043 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos^{4} (x) + 8 sin^{2} (x) = 5

Subtrahiere

5

von beiden Seiten

2 cos^{4} (x) + 8 sin^{2} (x) - 5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 (1 - cos^{2} (x)) : 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

- 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

8 (1 - cos^{2} (x)) : 8 - 8 cos^{2} (x)

8 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 8, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 8 \cdot 1 - 8 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

8 \cdot 1 = 8

= 8 - 8 cos^{2} (x)

= - 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 - 8 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 - 8 cos^{2} (x) : 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

- 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 - 8 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) - 5 + 8

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 8 = 3

= 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

= 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

= 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

3 + 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

3 + 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

3 + 2 u^{4} - 8 u^{2} = 0

3 + 2 u^{4} - 8 u^{2} = 0 : u = \frac{4 + 10}{2}, u = - \frac{4 + 10}{2}, u = \frac{4 - 10}{2}, u = - \frac{4 - 10}{2}

3 + 2 u^{4} - 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{4} - 8 u^{2} + 3 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

2 v^{2} - 8 v + 3 = 0

Löse

2 v^{2} - 8 v + 3 = 0 : v = \frac{4 + 10}{2}, v = \frac{4 - 10}{2}

2 v^{2} - 8 v + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 v^{2} - 8 v + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 8, c = 3

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 210

(- 8)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 8^{2} - 24

8^{2} = 64

= 64 - 24

Subtrahiere die Zahlen:

64 - 24 = 40

= 40

Primfaktorzerlegung von

40 : 2^{3} \cdot 5

40

40

ist durch

240 = 20 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 5

Fasse zusammen

= 210

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 2 10}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 2 10}{2 \cdot 2}, v_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 2 10}{2 \cdot 2}

v = \frac{- ( - 8 ) + 2 10}{2 \cdot 2} : \frac{4 + 10}{2}

\frac{- ( - 8 ) + 2 10}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 + 2 10}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8 + 2 10}{4}

Faktorisiere

8 + 210 : 2 (4 + 10)

8 + 210

Schreibe um

= 2 \cdot 4 + 210

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (4 + 10)

= \frac{2 ( 4 + 10 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{4 + 10}{2}

v = \frac{- ( - 8 ) - 2 10}{2 \cdot 2} : \frac{4 - 10}{2}

\frac{- ( - 8 ) - 2 10}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 - 2 10}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8 - 2 10}{4}

Faktorisiere

8 - 210 : 2 (4 - 10)

8 - 210

Schreibe um

= 2 \cdot 4 - 210

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (4 - 10)

= \frac{2 ( 4 - 10 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{4 - 10}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = \frac{4 + 10}{2}, v = \frac{4 - 10}{2}

v = \frac{4 + 10}{2}, v = \frac{4 - 10}{2}

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = \frac{4 + 10}{2} : u = \frac{4 + 10}{2}, u = - \frac{4 + 10}{2}

u^{2} = \frac{4 + 10}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{4 + 10}{2}, u = - \frac{4 + 10}{2}

Löse

u^{2} = \frac{4 - 10}{2} : u = \frac{4 - 10}{2}, u = - \frac{4 - 10}{2}

u^{2} = \frac{4 - 10}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{4 - 10}{2}, u = - \frac{4 - 10}{2}

Die Lösungen sind

u = \frac{4 + 10}{2}, u = - \frac{4 + 10}{2}, u = \frac{4 - 10}{2}, u = - \frac{4 - 10}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{4 + 10}{2}, cos (x) = - \frac{4 + 10}{2}, cos (x) = \frac{4 - 10}{2}, cos (x) = - \frac{4 - 10}{2}

cos (x) = \frac{4 + 10}{2}, cos (x) = - \frac{4 + 10}{2}, cos (x) = \frac{4 - 10}{2}, cos (x) = - \frac{4 - 10}{2}

cos (x) = \frac{4 + 10}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{4 + 10}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - \frac{4 + 10}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{4 + 10}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{4 - 10}{2} : x = arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{4 - 10}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{4 - 10}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{4 - 10}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

x = arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{4 - 10}{2} : x = arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{4 - 10}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{4 - 10}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{4 - 10}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

x = arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.86689 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.86689 \dots + 2 πn, x = 2.27469 \dots + 2 πn, x = - 2.27469 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^4(a)+cos^2(a)=1

1-cos(x)=2+cos(x)

(1+cos(4x))sin(4x)=2cos^2(2x)

(5sin(x)+6)/(sin(x))=17

tan^2(x)sec(x)-1=0