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Beliebt Trigonometrie >

sin^3(o)=4sin(o)sin^2(o)sin^4(o)

Lösung

sin^{3} (o) = 4 sin (o) sin^{2} (o) sin^{4} (o)

Lösung

o = 2 πn, o = π + 2 πn, o = \frac{5 π}{4} + 2 πn, o = \frac{7 π}{4} + 2 πn, o = \frac{π}{4} + 2 πn, o = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Grad

o = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, o = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, o = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, o = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, o = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, o = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{3} (o) = 4 sin (o) sin^{2} (o) sin^{4} (o)

Löse mit Substitution

sin^{3} (o) = 4 sin (o) sin^{2} (o) sin^{4} (o)

Angenommen:

sin (o) = u

u^{3} = 4 u u^{2} u^{4}

u^{3} = 4 u u^{2} u^{4} : u = 0, u = i \frac{1}{2}, u = - i \frac{1}{2}, u = - \frac{2}{2}, u = \frac{2}{2}

u^{3} = 4 u u^{2} u^{4}

Tausche die Seiten

4 u u^{2} u^{4} = u^{3}

Verschiebe

u^{3}

auf die linke Seite

4 u u^{2} u^{4} = u^{3}

Subtrahiere

u^{3}

von beiden Seiten

4 u u^{2} u^{4} - u^{3} = u^{3} - u^{3}

Vereinfache

4 u^{7} - u^{3} = 0

4 u^{7} - u^{3} = 0

Faktorisiere

4 u^{7} - u^{3} : u^{3} (2 u^{2} + 1) (2 u + 1) (2 u - 1)

4 u^{7} - u^{3}

Klammere gleiche Terme aus

u^{3} : u^{3} (4 u^{4} - 1)

4 u^{7} - u^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{7} = u^{4} u^{3}

= 4 u^{4} u^{3} - u^{3}

Klammere gleiche Terme aus

u^{3}

= u^{3} (4 u^{4} - 1)

= u^{3} (4 u^{4} - 1)

Faktorisiere

4 u^{4} - 1 : (2 u^{2} + 1) (2 u + 1) (2 u - 1)

4 u^{4} - 1

Schreibe

4 u^{4} - 1

um:

(2 u^{2})^{2} - 1^{2}

4 u^{4} - 1

Schreibe

4

um:

2^{2}

= 2^{2} u^{4} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= 2^{2} u^{4} - 1^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

u^{4} = (u^{2})^{2}

= 2^{2} (u^{2})^{2} - 1^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} (u^{2})^{2} = (2 u^{2})^{2}

= (2 u^{2})^{2} - 1^{2}

= (2 u^{2})^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u^{2})^{2} - 1^{2} = (2 u^{2} + 1) (2 u^{2} - 1)

= (2 u^{2} + 1) (2 u^{2} - 1)

Faktorisiere

2 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{2} - 1

Schreibe

2 u^{2} - 1

um:

(2 u)^{2} - 1^{2}

2 u^{2} - 1

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - 1^{2} = (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u^{2} + 1) (2 u + 1) (2 u - 1)

= u^{3} (2 u^{2} + 1) (2 u + 1) (2 u - 1)

u^{3} (2 u^{2} + 1) (2 u + 1) (2 u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or 2 u^{2} + 1 = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 1 = 0

Löse

2 u^{2} + 1 = 0 : u = i \frac{1}{2}, u = - i \frac{1}{2}

2 u^{2} + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u^{2} + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u^{2} = - 1

2 u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u ^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u^{2} = - \frac{1}{2}

u^{2} = - \frac{1}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - \frac{1}{2}, u = - - \frac{1}{2}

Vereinfache

- \frac{1}{2} : i \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- \frac{1}{2} = - 1 \frac{1}{2}

= - 1 \frac{1}{2}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= i \frac{1}{2}

Vereinfache

- - \frac{1}{2} : - i \frac{1}{2}

- - \frac{1}{2}

Vereinfache

- \frac{1}{2} : i \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- \frac{1}{2} = - 1 \frac{1}{2}

= - 1 \frac{1}{2}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= i \frac{1}{2}

= - i \frac{1}{2}

u = i \frac{1}{2}, u = - i \frac{1}{2}

Löse

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u = - 1

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

Löse

2 u - 1 = 0 : u = \frac{2}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u

Vereinfache

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

Die Lösungen sind

u = 0, u = i \frac{1}{2}, u = - i \frac{1}{2}, u = - \frac{2}{2}, u = \frac{2}{2}

Setze in

u = sin (o)

ein

sin (o) = 0, sin (o) = i \frac{1}{2}, sin (o) = - i \frac{1}{2}, sin (o) = - \frac{2}{2}, sin (o) = \frac{2}{2}

sin (o) = 0, sin (o) = i \frac{1}{2}, sin (o) = - i \frac{1}{2}, sin (o) = - \frac{2}{2}, sin (o) = \frac{2}{2}

sin (o) = 0 : o = 2 πn, o = π + 2 πn

sin (o) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (o) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

o = 0 + 2 πn, o = π + 2 πn

o = 0 + 2 πn, o = π + 2 πn

Löse

o = 0 + 2 πn : o = 2 πn

o = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

o = 2 πn

o = 2 πn, o = π + 2 πn

sin (o) = i \frac{1}{2} :

Keine Lösung

sin (o) = i \frac{1}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (o) = - i \frac{1}{2} :

Keine Lösung

sin (o) = - i \frac{1}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (o) = - \frac{2}{2} : o = \frac{5 π}{4} + 2 πn, o = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (o) = - \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (o) = - \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

o = \frac{5 π}{4} + 2 πn, o = \frac{7 π}{4} + 2 πn

o = \frac{5 π}{4} + 2 πn, o = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (o) = \frac{2}{2} : o = \frac{π}{4} + 2 πn, o = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (o) = \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (o) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

o = \frac{π}{4} + 2 πn, o = \frac{3 π}{4} + 2 πn

o = \frac{π}{4} + 2 πn, o = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

o = 2 πn, o = π + 2 πn, o = \frac{5 π}{4} + 2 πn, o = \frac{7 π}{4} + 2 πn, o = \frac{π}{4} + 2 πn, o = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(x)=-4

8sin^4(x)-6sin^2(x)+1=0

4sin^2(x)+2cos(x)+a=3

cos^5(x)+cos(x)+4cos^2(x)=2

sin^2(x)-sin(x)+2cos^2(x)=1