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Beliebt Trigonometrie >

2cos(a)=3sin^2(a)

Lösung

2 cos (a) = 3 sin^{2} (a)

Lösung

a = 0.76589 \dots + 2 πn, a = 2 π - 0.76589 \dots + 2 πn

Grad

a = 43.88280 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 316.11719 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (a) = 3 sin^{2} (a)

Subtrahiere

3 sin^{2} (a)

von beiden Seiten

2 cos (a) - 3 sin^{2} (a) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 cos (a) - 3 sin^{2} (a)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 cos (a) - 3 (1 - cos^{2} (a))

- (1 - cos^{2} (a)) \cdot 3 + 2 cos (a) = 0

Löse mit Substitution

- (1 - cos^{2} (a)) \cdot 3 + 2 cos (a) = 0

Angenommen:

cos (a) = u

- (1 - u^{2}) \cdot 3 + 2 u = 0

- (1 - u^{2}) \cdot 3 + 2 u = 0 : u = \frac{- 1 + 10}{3}, u = - \frac{1 + 10}{3}

- (1 - u^{2}) \cdot 3 + 2 u = 0

Schreibe

- (1 - u^{2}) \cdot 3 + 2 u

um:

- 3 + 3 u^{2} + 2 u

- (1 - u^{2}) \cdot 3 + 2 u

= - 3 (1 - u^{2}) + 2 u

Multipliziere aus

- 3 (1 - u^{2}) : - 3 + 3 u^{2}

- 3 (1 - u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = u^{2}

= - 3 \cdot 1 - (- 3) u^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 u^{2}

= - 3 + 3 u^{2} + 2 u

- 3 + 3 u^{2} + 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} + 2 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} + 2 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = 2, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 3 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 3 )}{2 \cdot 3}

2^{2} - 4 \cdot 3 (- 3) = 210

2^{2} - 4 \cdot 3 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 2^{2} + 36

2^{2} = 4

= 4 + 36

Addiere die Zahlen:

4 + 36 = 40

= 40

Primfaktorzerlegung von

40 : 2^{3} \cdot 5

40

40

ist durch

240 = 20 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 5

Fasse zusammen

= 210

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 10}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 10}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 10}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 2 + 2 10}{2 \cdot 3} : \frac{- 1 + 10}{3}

\frac{- 2 + 2 10}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 + 2 10}{6}

Faktorisiere

- 2 + 210 : 2 (- 1 + 10)

- 2 + 210

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 210

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 10)

= \frac{2 ( - 1 + 10 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + 10}{3}

u = \frac{- 2 - 2 10}{2 \cdot 3} : - \frac{1 + 10}{3}

\frac{- 2 - 2 10}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 - 2 10}{6}

Faktorisiere

- 2 - 210 : - 2 (1 + 10)

- 2 - 210

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 210

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + 10)

= - \frac{2 ( 1 + 10 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1 + 10}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 1 + 10}{3}, u = - \frac{1 + 10}{3}

Setze in

u = cos (a)

ein

cos (a) = \frac{- 1 + 10}{3}, cos (a) = - \frac{1 + 10}{3}

cos (a) = \frac{- 1 + 10}{3}, cos (a) = - \frac{1 + 10}{3}

cos (a) = \frac{- 1 + 10}{3} : a = arccos (\frac{- 1 + 10}{3}) + 2 πn, a = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 10}{3}) + 2 πn

cos (a) = \frac{- 1 + 10}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (a) = \frac{- 1 + 10}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (a) = \frac{- 1 + 10}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

a = arccos (\frac{- 1 + 10}{3}) + 2 πn, a = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 10}{3}) + 2 πn

a = arccos (\frac{- 1 + 10}{3}) + 2 πn, a = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 10}{3}) + 2 πn

cos (a) = - \frac{1 + 10}{3} :

Keine Lösung

cos (a) = - \frac{1 + 10}{3}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

a = arccos (\frac{- 1 + 10}{3}) + 2 πn, a = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 10}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

a = 0.76589 \dots + 2 πn, a = 2 π - 0.76589 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

(11)/(cos(90))=(10)/(cos(x))

tan^2(x)=cot^2(x)

solvefor x,cos(x/2)=-cos(2x-30)

sqrt(1-cos(x))= 1/(2sin^2(x))

cos(2x-1)= 1/2