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Beliebt Trigonometrie >

cos^4(x)= 3/8+1/2 cos^2(x)+1/8 cos^4(x)

Lösung

cos^{4} (x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} cos^{2} (x) + \frac{1}{8} cos^{4} (x)

Lösung

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{4} (x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} cos^{2} (x) + \frac{1}{8} cos^{4} (x)

Löse mit Substitution

cos^{4} (x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} cos^{2} (x) + \frac{1}{8} cos^{4} (x)

Angenommen:

cos (x) = u

u^{4} = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} u^{2} + \frac{1}{8} u^{4}

u^{4} = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} u^{2} + \frac{1}{8} u^{4} : u = i \frac{3}{7}, u = - i \frac{3}{7}, u = 1, u = - 1

u^{4} = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} u^{2} + \frac{1}{8} u^{4}

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

8, 2 : 8

8, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

8 : 2 \cdot 2 \cdot 2

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

8

oder

2

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

= 8

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

8

u^{4} \cdot 8 = \frac{3}{8} \cdot 8 + \frac{1}{2} u^{2} \cdot 8 + \frac{1}{8} u^{4} \cdot 8

Vereinfache

8 u^{4} = 3 + 4 u^{2} + u^{4}

Tausche die Seiten

3 + 4 u^{2} + u^{4} = 8 u^{4}

Verschiebe

8 u^{4}

auf die linke Seite

3 + 4 u^{2} + u^{4} = 8 u^{4}

Subtrahiere

8 u^{4}

von beiden Seiten

3 + 4 u^{2} + u^{4} - 8 u^{4} = 8 u^{4} - 8 u^{4}

Vereinfache

3 + 4 u^{2} - 7 u^{4} = 0

3 + 4 u^{2} - 7 u^{4} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 7 u^{4} + 4 u^{2} + 3 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

- 7 v^{2} + 4 v + 3 = 0

Löse

- 7 v^{2} + 4 v + 3 = 0 : v = - \frac{3}{7}, v = 1

- 7 v^{2} + 4 v + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 7 v^{2} + 4 v + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 7, b = 4, c = 3

v_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 7 ) \cdot 3}{2 ( - 7 )}

v_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 7 ) \cdot 3}{2 ( - 7 )}

4^{2} - 4 (- 7) \cdot 3 = 10

4^{2} - 4 (- 7) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 7 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 \cdot 3 = 84

= 4^{2} + 84

4^{2} = 16

= 16 + 84

Addiere die Zahlen:

16 + 84 = 100

= 100

Faktorisiere die Zahl:

100 = 1 0^{2}

= 1 0^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 0^{2} = 10

= 10

v_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 10}{2 ( - 7 )}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- 4 + 10}{2 ( - 7 )}, v_{2} = \frac{- 4 - 10}{2 ( - 7 )}

v = \frac{- 4 + 10}{2 ( - 7 )} : - \frac{3}{7}

\frac{- 4 + 10}{2 ( - 7 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4 + 10}{- 2 \cdot 7}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 10 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{6}{- 14}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3}{7}

v = \frac{- 4 - 10}{2 ( - 7 )} : 1

\frac{- 4 - 10}{2 ( - 7 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4 - 10}{- 2 \cdot 7}

Subtrahiere die Zahlen:

- 4 - 10 = - 14

= \frac{- 14}{- 2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{- 14}{- 14}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{14}{14}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = - \frac{3}{7}, v = 1

v = - \frac{3}{7}, v = 1

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = - \frac{3}{7} : u = i \frac{3}{7}, u = - i \frac{3}{7}

u^{2} = - \frac{3}{7}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - \frac{3}{7}, u = - - \frac{3}{7}

Vereinfache

- \frac{3}{7} : i \frac{3}{7}

- \frac{3}{7}

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- \frac{3}{7} = - 1 \frac{3}{7}

= - 1 \frac{3}{7}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= i \frac{3}{7}

Vereinfache

- - \frac{3}{7} : - i \frac{3}{7}

- - \frac{3}{7}

Vereinfache

- \frac{3}{7} : i \frac{3}{7}

- \frac{3}{7}

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- \frac{3}{7} = - 1 \frac{3}{7}

= - 1 \frac{3}{7}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= i \frac{3}{7}

= - i \frac{3}{7}

u = i \frac{3}{7}, u = - i \frac{3}{7}

Löse

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Regel an

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Die Lösungen sind

u = i \frac{3}{7}, u = - i \frac{3}{7}, u = 1, u = - 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = i \frac{3}{7}, cos (x) = - i \frac{3}{7}, cos (x) = 1, cos (x) = - 1

cos (x) = i \frac{3}{7}, cos (x) = - i \frac{3}{7}, cos (x) = 1, cos (x) = - 1

cos (x) = i \frac{3}{7} :

Keine Lösung

cos (x) = i \frac{3}{7}

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - i \frac{3}{7} :

Keine Lösung

cos (x) = - i \frac{3}{7}

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x)=5cos(x)

sin (2 x) = 5 cos (x)

sin(a)=0.4848

sin (a) = 0.4848

sin^2(x)=2cos^4(x)

sin^{2} (x) = 2 cos^{4} (x)

sin^3(x)+cos^3(x)=(1-1)/(2sin^2(x))

sin^{3} (x) + cos^{3} (x) = \frac{1 - 1}{2 sin ^{2} ( x )}

solvefor i,xsin^2(x)=cos^2(x)löse nach

i, x sin^{2} (x) = cos^{2} (x)