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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)+cos(3x)= 1/2

Lösung

cos (x) + cos (3 x) = \frac{1}{2}

Lösung

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 0.62831 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.62831 \dots + 2 πn, x = 1.88495 \dots + 2 πn, x = - 1.88495 \dots + 2 πn

Grad

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 3 6^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 32 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 10 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 10 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) + cos (3 x) = \frac{1}{2}

Subtrahiere

\frac{1}{2}

von beiden Seiten

cos (x) + cos (3 x) - \frac{1}{2} = 0

Vereinfache

cos (x) + cos (3 x) - \frac{1}{2} : \frac{2 cos ( x ) + 2 cos ( 3 x ) - 1}{2}

cos (x) + cos (3 x) - \frac{1}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (x) = \frac{cos ( x ) 2}{2}, cos (3 x) = \frac{cos ( 3 x ) 2}{2}

= \frac{cos ( x ) \cdot 2}{2} + \frac{cos ( 3 x ) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 2 + cos ( 3 x ) \cdot 2 - 1}{2}

\frac{2 cos ( x ) + 2 cos ( 3 x ) - 1}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos (x) + 2 cos (3 x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + 2 cos (3 x) + 2 cos (x)

cos (3 x) = 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

cos (3 x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (3 x)

Schreibe um

= cos (2 x + x)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 x) cos (x) - sin (2 x) sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

Vereinfache

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) : cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Multipliziere aus

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

= cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) - 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= cos (x) 2 cos^{2} (x) - cos (x) 1

= 2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

Vereinfache

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 cos (x)

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Multipliziere aus

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) 1 - (- 2 cos (x)) cos^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

Vereinfache

- 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 cos (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Vereinfache

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) = 4 cos^{3} (x)

= 4 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

- cos (x) - 2 cos (x) = - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= - 1 + 2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)) + 2 cos (x)

Vereinfache

- 1 + 2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)) + 2 cos (x) : - 1 + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

- 1 + 2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)) + 2 cos (x)

Multipliziere aus

2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)) : 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 4 cos^{3} (x), c = 3 cos (x)

= 2 \cdot 4 cos^{3} (x) - 2 \cdot 3 cos (x)

Vereinfache

2 \cdot 4 cos^{3} (x) - 2 \cdot 3 cos (x) : 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

2 \cdot 4 cos^{3} (x) - 2 \cdot 3 cos (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= 8 cos^{3} (x) - 2 \cdot 3 cos (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

= - 1 + 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x) + 2 cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 6 cos (x) + 2 cos (x) = - 4 cos (x)

= - 1 + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

= - 1 + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

- 1 - 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 - 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 1 - 4 u + 8 u^{3} = 0

- 1 - 4 u + 8 u^{3} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{1 - 5}{4}

- 1 - 4 u + 8 u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

8 u^{3} - 4 u - 1 = 0

Faktorisiere

8 u^{3} - 4 u - 1 : (2 u + 1) (4 u^{2} - 2 u - 1)

8 u^{3} - 4 u - 1

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 1, a_{n} = 8

Die Teiler von

a_{0} : 1,

Die Teiler von

a_{n} : 1, 2, 4, 8

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4 , 8}

- \frac{1}{2}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

2 u + 1

= (2 u + 1) \frac{8 u ^{3} - 4 u - 1}{2 u + 1}

\frac{8 u ^{3} - 4 u - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} - 2 u - 1

\frac{8 u ^{3} - 4 u - 1}{2 u + 1}

Dividiere

\frac{8 u ^{3} - 4 u - 1}{2 u + 1} : \frac{8 u ^{3} - 4 u - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

8 u^{3} - 4 u - 1

und des Teilers

2 u + 1 : \frac{8 u ^{3}}{2 u} = 4 u^{2}

Quotient = 4 u^{2}

Multipliziere

2 u + 1

mit

4 u^{2} : 8 u^{3} + 4 u^{2}

Substrahiere

8 u^{3} + 4 u^{2}

von

8 u^{3} - 4 u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 4 u^{2} - 4 u - 1

Deshalb

\frac{8 u ^{3} - 4 u - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1}

= 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1}

Dividiere

\frac{- 4 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1} : \frac{- 4 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1} = - 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 4 u^{2} - 4 u - 1

und des Teilers

2 u + 1 : \frac{- 4 u ^{2}}{2 u} = - 2 u

Quotient = - 2 u

Multipliziere

2 u + 1

mit

- 2 u : - 4 u^{2} - 2 u

Substrahiere

- 4 u^{2} - 2 u

von

- 4 u^{2} - 4 u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 2 u - 1

Deshalb

\frac{- 4 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1} = - 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

= 4 u^{2} - 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

Dividiere

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} : \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 2 u - 1

und des Teilers

2 u + 1 : \frac{- 2 u}{2 u} = - 1

Quotient = - 1

Multipliziere

2 u + 1

mit

- 1 : - 2 u - 1

Substrahiere

- 2 u - 1

von

- 2 u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

= 4 u^{2} - 2 u - 1

= (2 u + 1) (4 u^{2} - 2 u - 1)

(2 u + 1) (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

2 u + 1 = 0 or 4 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Löse

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u = - 1

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Löse

4 u^{2} - 2 u - 1 = 0 : u = \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{1 - 5}{4}

4 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Addiere die Zahlen:

4 + 16 = 20

= 20

Primfaktorzerlegung von

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{1 + 5}{4}

\frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 5}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 + 2 5}{8}

Faktorisiere

2 + 25 : 2 (1 + 5)

2 + 25

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 5)

= \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 5}{4}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{1 - 5}{4}

\frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 5}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 - 2 5}{8}

Faktorisiere

2 - 25 : 2 (1 - 5)

2 - 25

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 5)

= \frac{2 ( 1 - 5 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 - 5}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{1 - 5}{4}

Die Lösungen sind

u = - \frac{1}{2}, u = \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{1 - 5}{4}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{4}, cos (x) = \frac{1 - 5}{4}

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{4}, cos (x) = \frac{1 - 5}{4}

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 5}{4} : x = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 5}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 + 5}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 5}{4} : x = arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 5}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 - 5}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 - 5}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 0.62831 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.62831 \dots + 2 πn, x = 1.88495 \dots + 2 πn, x = - 1.88495 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5cos(2x+3)=sin(2x+3)

4*cos(x)+3*sec(x)=8

3/5 =sin(x)

(sin^2(x))/(1-cos^2(x))=cot(x)

cos^2(x)+cos^3(x)+cos^4(x)+cos^5(x)=0