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Beliebt Trigonometrie >

1+7sinh(x)=4cosh^2(x)

Lösung

1 + 7 sinh (x) = 4 cosh^{2} (x)

Lösung

x = ln (2), x = ln (1 + 2)

Grad

x = 39.71440 \dots^{\circ}, x = 50.49898 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

1 + 7 sinh (x) = 4 cosh^{2} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + 7 sinh (x) = 4 cosh^{2} (x)

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

1 + 7 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 4 cosh^{2} (x)

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

1 + 7 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 4 (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2}

1 + 7 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 4 (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2}

1 + 7 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 4 (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2} : x = ln (2), x = ln (1 + 2)

1 + 7 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 4 (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an

1 + 7 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 4 (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

1 + 7 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 4 (\frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2})^{2}

1 + 7 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 4 (\frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2})^{2}

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

1 + 7 \cdot \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2} = 4 (\frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2})^{2}

Löse

1 + 7 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 4 (\frac{u + u ^{- 1}}{2})^{2} : u = 2, u = - \frac{1}{2}, u = 1 + 2, u = 1 - 2

1 + 7 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 4 (\frac{u + u ^{- 1}}{2})^{2}

Fasse zusammen

1 + \frac{7 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = \frac{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}{u ^{2}}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

1 + \frac{7 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = \frac{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}{u ^{2}}

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

2 u, u^{2} : 2 u^{2}

2 u, u^{2}

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

2 u

oder

u^{2}

auftauchen.

= 2 u^{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

2 u^{2}

1 \cdot 2 u^{2} + \frac{7 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u^{2} = \frac{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}{u ^{2}} \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

1 \cdot 2 u^{2} + \frac{7 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u^{2} = \frac{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}{u ^{2}} \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

1 \cdot 2 u^{2} : 2 u^{2}

1 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= 2 u^{2}

Vereinfache

\frac{7 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u^{2} : 7 u (u^{2} - 1)

\frac{7 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 ( u ^{2} - 1 ) \cdot 2 u ^{2}}{2 u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{7 ( u ^{2} - 1 ) u ^{2}}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 7 u (u^{2} - 1)

Vereinfache

\frac{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}{u ^{2}} \cdot 2 u^{2} : 2 (u^{2} + 1)^{2}

\frac{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}{u ^{2}} \cdot 2 u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( u ^{2} + 1 ) ^{2} \cdot 2 u ^{2}}{u ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u^{2}

= (u^{2} + 1)^{2} \cdot 2

2 u^{2} + 7 u (u^{2} - 1) = 2 (u^{2} + 1)^{2}

2 u^{2} + 7 u (u^{2} - 1) = 2 (u^{2} + 1)^{2}

2 u^{2} + 7 u (u^{2} - 1) = 2 (u^{2} + 1)^{2}

Löse

2 u^{2} + 7 u (u^{2} - 1) = 2 (u^{2} + 1)^{2} : u = 2, u = - \frac{1}{2}, u = 1 + 2, u = 1 - 2

2 u^{2} + 7 u (u^{2} - 1) = 2 (u^{2} + 1)^{2}

Schreibe

2 u^{2} + 7 u (u^{2} - 1)

um:

2 u^{2} + 7 u^{3} - 7 u

2 u^{2} + 7 u (u^{2} - 1)

Multipliziere aus

7 u (u^{2} - 1) : 7 u^{3} - 7 u

7 u (u^{2} - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 7 u, b = u^{2}, c = 1

= 7 u u^{2} - 7 u \cdot 1

= 7 u^{2} u - 7 \cdot 1 \cdot u

Vereinfache

7 u^{2} u - 7 \cdot 1 \cdot u : 7 u^{3} - 7 u

7 u^{2} u - 7 \cdot 1 \cdot u

7 u^{2} u = 7 u^{3}

7 u^{2} u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 7 u^{2 + 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 7 u^{3}

7 \cdot 1 \cdot u = 7 u

7 \cdot 1 \cdot u

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 1 = 7

= 7 u

= 7 u^{3} - 7 u

= 7 u^{3} - 7 u

= 2 u^{2} + 7 u^{3} - 7 u

Schreibe

2 (u^{2} + 1)^{2}

um:

2 u^{4} + 4 u^{2} + 2

2 (u^{2} + 1)^{2}

(u^{2} + 1)^{2} = u^{4} + 2 u^{2} + 1

(u^{2} + 1)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = u^{2}, b = 1

= (u^{2})^{2} + 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2}

Vereinfache

(u^{2})^{2} + 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2} : u^{4} + 2 u^{2} + 1

(u^{2})^{2} + 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (u^{2})^{2} + 2 \cdot 1 \cdot u^{2} + 1

(u^{2})^{2} = u^{4}

(u^{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= u^{4}

2 u^{2} \cdot 1 = 2 u^{2}

2 u^{2} \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 u^{2}

= u^{4} + 2 u^{2} + 1

= u^{4} + 2 u^{2} + 1

= 2 (u^{4} + 2 u^{2} + 1)

Setze Klammern

= 2 u^{4} + 2 \cdot 2 u^{2} + 2 \cdot 1

Vereinfache

2 u^{4} + 2 \cdot 2 u^{2} + 2 \cdot 1 : 2 u^{4} + 4 u^{2} + 2

2 u^{4} + 2 \cdot 2 u^{2} + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 2 u^{4} + 4 u^{2} + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 u^{4} + 4 u^{2} + 2

= 2 u^{4} + 4 u^{2} + 2

2 u^{2} + 7 u^{3} - 7 u = 2 u^{4} + 4 u^{2} + 2

Tausche die Seiten

2 u^{4} + 4 u^{2} + 2 = 2 u^{2} + 7 u^{3} - 7 u

Verschiebe

7 u

auf die linke Seite

2 u^{4} + 4 u^{2} + 2 = 2 u^{2} + 7 u^{3} - 7 u

Füge

7 u

zu beiden Seiten hinzu

2 u^{4} + 4 u^{2} + 2 + 7 u = 2 u^{2} + 7 u^{3} - 7 u + 7 u

Vereinfache

2 u^{4} + 4 u^{2} + 2 + 7 u = 2 u^{2} + 7 u^{3}

2 u^{4} + 4 u^{2} + 2 + 7 u = 2 u^{2} + 7 u^{3}

Verschiebe

7 u^{3}

auf die linke Seite

2 u^{4} + 4 u^{2} + 2 + 7 u = 2 u^{2} + 7 u^{3}

Subtrahiere

7 u^{3}

von beiden Seiten

2 u^{4} + 4 u^{2} + 2 + 7 u - 7 u^{3} = 2 u^{2} + 7 u^{3} - 7 u^{3}

Vereinfache

2 u^{4} + 4 u^{2} + 2 + 7 u - 7 u^{3} = 2 u^{2}

2 u^{4} + 4 u^{2} + 2 + 7 u - 7 u^{3} = 2 u^{2}

Verschiebe

2 u^{2}

auf die linke Seite

2 u^{4} + 4 u^{2} + 2 + 7 u - 7 u^{3} = 2 u^{2}

Subtrahiere

2 u^{2}

von beiden Seiten

2 u^{4} + 4 u^{2} + 2 + 7 u - 7 u^{3} - 2 u^{2} = 2 u^{2} - 2 u^{2}

Vereinfache

2 u^{4} - 7 u^{3} + 2 u^{2} + 7 u + 2 = 0

2 u^{4} - 7 u^{3} + 2 u^{2} + 7 u + 2 = 0

Faktorisiere

2 u^{4} - 7 u^{3} + 2 u^{2} + 7 u + 2 : (u - 2) (2 u + 1) (u^{2} - 2 u - 1)

2 u^{4} - 7 u^{3} + 2 u^{2} + 7 u + 2

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 2, a_{n} = 2

Die Teiler von

a_{0} : 1, 2,

Die Teiler von

a_{n} : 1, 2

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1 , 2}{1 , 2}

\frac{2}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u - 2

= (u - 2) \frac{2 u ^{4} - 7 u ^{3} + 2 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2}

\frac{2 u ^{4} - 7 u ^{3} + 2 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2} = 2 u^{3} - 3 u^{2} - 4 u - 1

\frac{2 u ^{4} - 7 u ^{3} + 2 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2}

Dividiere

\frac{2 u ^{4} - 7 u ^{3} + 2 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2} : \frac{2 u ^{4} - 7 u ^{3} + 2 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2} = 2 u^{3} + \frac{- 3 u ^{3} + 2 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u^{4} - 7 u^{3} + 2 u^{2} + 7 u + 2

und des Teilers

u - 2 : \frac{2 u ^{4}}{u} = 2 u^{3}

Quotient = 2 u^{3}

Multipliziere

u - 2

mit

2 u^{3} : 2 u^{4} - 4 u^{3}

Substrahiere

2 u^{4} - 4 u^{3}

von

2 u^{4} - 7 u^{3} + 2 u^{2} + 7 u + 2

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 3 u^{3} + 2 u^{2} + 7 u + 2

Deshalb

\frac{2 u ^{4} - 7 u ^{3} + 2 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2} = 2 u^{3} + \frac{- 3 u ^{3} + 2 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2}

= 2 u^{3} + \frac{- 3 u ^{3} + 2 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2}

Dividiere

\frac{- 3 u ^{3} + 2 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2} : \frac{- 3 u ^{3} + 2 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2} = - 3 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 3 u^{3} + 2 u^{2} + 7 u + 2

und des Teilers

u - 2 : \frac{- 3 u ^{3}}{u} = - 3 u^{2}

Quotient = - 3 u^{2}

Multipliziere

u - 2

mit

- 3 u^{2} : - 3 u^{3} + 6 u^{2}

Substrahiere

- 3 u^{3} + 6 u^{2}

von

- 3 u^{3} + 2 u^{2} + 7 u + 2

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 4 u^{2} + 7 u + 2

Deshalb

\frac{- 3 u ^{3} + 2 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2} = - 3 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2}

= 2 u^{3} - 3 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2}

Dividiere

\frac{- 4 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2} : \frac{- 4 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2} = - 4 u + \frac{- u + 2}{u - 2}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 4 u^{2} + 7 u + 2

und des Teilers

u - 2 : \frac{- 4 u ^{2}}{u} = - 4 u

Quotient = - 4 u

Multipliziere

u - 2

mit

- 4 u : - 4 u^{2} + 8 u

Substrahiere

- 4 u^{2} + 8 u

von

- 4 u^{2} + 7 u + 2

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - u + 2

Deshalb

\frac{- 4 u ^{2} + 7 u + 2}{u - 2} = - 4 u + \frac{- u + 2}{u - 2}

= 2 u^{3} - 3 u^{2} - 4 u + \frac{- u + 2}{u - 2}

Dividiere

\frac{- u + 2}{u - 2} : \frac{- u + 2}{u - 2} = - 1

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- u + 2

und des Teilers

u - 2 : \frac{- u}{u} = - 1

Quotient = - 1

Multipliziere

u - 2

mit

- 1 : - u + 2

Substrahiere

- u + 2

von

- u + 2

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{- u + 2}{u - 2} = - 1

= 2 u^{3} - 3 u^{2} - 4 u - 1

= 2 u^{3} - 3 u^{2} - 4 u - 1

Faktorisiere

2 u^{3} - 3 u^{2} - 4 u - 1 : (2 u + 1) (u^{2} - 2 u - 1)

2 u^{3} - 3 u^{2} - 4 u - 1

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 1, a_{n} = 2

Die Teiler von

a_{0} : 1,

Die Teiler von

a_{n} : 1, 2

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1}{1 , 2}

- \frac{1}{2}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

2 u + 1

= (2 u + 1) \frac{2 u ^{3} - 3 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1}

\frac{2 u ^{3} - 3 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1} = u^{2} - 2 u - 1

\frac{2 u ^{3} - 3 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1}

Dividiere

\frac{2 u ^{3} - 3 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1} : \frac{2 u ^{3} - 3 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1} = u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u^{3} - 3 u^{2} - 4 u - 1

und des Teilers

2 u + 1 : \frac{2 u ^{3}}{2 u} = u^{2}

Quotient = u^{2}

Multipliziere

2 u + 1

mit

u^{2} : 2 u^{3} + u^{2}

Substrahiere

2 u^{3} + u^{2}

von

2 u^{3} - 3 u^{2} - 4 u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 4 u^{2} - 4 u - 1

Deshalb

\frac{2 u ^{3} - 3 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1} = u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1}

= u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1}

Dividiere

\frac{- 4 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1} : \frac{- 4 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1} = - 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 4 u^{2} - 4 u - 1

und des Teilers

2 u + 1 : \frac{- 4 u ^{2}}{2 u} = - 2 u

Quotient = - 2 u

Multipliziere

2 u + 1

mit

- 2 u : - 4 u^{2} - 2 u

Substrahiere

- 4 u^{2} - 2 u

von

- 4 u^{2} - 4 u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 2 u - 1

Deshalb

\frac{- 4 u ^{2} - 4 u - 1}{2 u + 1} = - 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

= u^{2} - 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

Dividiere

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} : \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 2 u - 1

und des Teilers

2 u + 1 : \frac{- 2 u}{2 u} = - 1

Quotient = - 1

Multipliziere

2 u + 1

mit

- 1 : - 2 u - 1

Substrahiere

- 2 u - 1

von

- 2 u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

= u^{2} - 2 u - 1

= u^{2} - 2 u - 1

= (2 u + 1) (u^{2} - 2 u - 1)

= (u - 2) (2 u + 1) (u^{2} - 2 u - 1)

(u - 2) (2 u + 1) (u^{2} - 2 u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 2 = 0 or 2 u + 1 = 0 or u^{2} - 2 u - 1 = 0

Löse

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

u = 2

u = 2

Löse

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u = - 1

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Löse

u^{2} - 2 u - 1 = 0 : u = 1 + 2, u = 1 - 2

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Addiere die Zahlen:

4 + 4 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1} : 1 + 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{2}

Faktorisiere

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1} : 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{2}

Faktorisiere

2 - 22 : 2 (1 - 2)

2 - 22

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 2)

= \frac{2 ( 1 - 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1 + 2, u = 1 - 2

Die Lösungen sind

u = 2, u = - \frac{1}{2}, u = 1 + 2, u = 1 - 2

u = 2, u = - \frac{1}{2}, u = 1 + 2, u = 1 - 2

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

1 + 7 \frac{u - u ^{- 1}}{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Nimm den/die Nenner von

4 (\frac{u + u ^{- 1}}{2})^{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 2, u = - \frac{1}{2}, u = 1 + 2, u = 1 - 2

u = 2, u = - \frac{1}{2}, u = 1 + 2, u = 1 - 2

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 2 : x = ln (2)

e^{x} = 2

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 2

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (2)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (2)

x = ln (2)

Löse

e^{x} = - \frac{1}{2} :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - \frac{1}{2}

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Löse

e^{x} = 1 + 2 : x = ln (1 + 2)

e^{x} = 1 + 2

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 1 + 2

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1 + 2)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1 + 2)

x = ln (1 + 2)

Löse

e^{x} = 1 - 2 :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = 1 - 2

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = ln (2), x = ln (1 + 2)

x = ln (2), x = ln (1 + 2)

Graph

Beliebte Beispiele

sin^2(x)-1+2cos(2x)-cos^2(x)=0