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Beliebt Trigonometrie >

solvefor x,sin(x+r/4)+sin(x-r/3)=0

Lösung

löse nach

x, sin (x + \frac{r}{4}) + sin (x - \frac{r}{3}) = 0

Lösung

x = 2 πn + \frac{r}{24}, x = π + 2 πn + \frac{r}{24}

Schritte zur Lösung

sin (x + \frac{r}{4}) + sin (x - \frac{r}{3}) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x + \frac{r}{4}) + sin (x - \frac{r}{3})

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= 2 sin (\frac{x + \frac{r}{4} + x - \frac{r}{3}}{2}) cos (\frac{x + \frac{r}{4} - ( x - \frac{r}{3} )}{2})

Vereinfache

2 sin (\frac{x + \frac{r}{4} + x - \frac{r}{3}}{2}) cos (\frac{x + \frac{r}{4} - ( x - \frac{r}{3} )}{2}) : 2 cos (\frac{7 r}{24}) sin (\frac{24 x - r}{24})

2 sin (\frac{x + \frac{r}{4} + x - \frac{r}{3}}{2}) cos (\frac{x + \frac{r}{4} - ( x - \frac{r}{3} )}{2})

\frac{x + \frac{r}{4} + x - \frac{r}{3}}{2} = \frac{24 x - r}{24}

\frac{x + \frac{r}{4} + x - \frac{r}{3}}{2}

x + \frac{r}{4} + x - \frac{r}{3} = 2 x + \frac{r}{4} - \frac{r}{3}

x + \frac{r}{4} + x - \frac{r}{3}

Fasse gleiche Terme zusammen

= x + x + \frac{r}{4} - \frac{r}{3}

Addiere gleiche Elemente:

x + x = 2 x

= 2 x + \frac{r}{4} - \frac{r}{3}

= \frac{2 x + \frac{r}{4} - \frac{r}{3}}{2}

Füge

2 x + \frac{r}{4} - \frac{r}{3}

zusammen:

\frac{24 x - r}{12}

2 x + \frac{r}{4} - \frac{r}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 x = \frac{2 x}{1}

= \frac{2 x}{1} + \frac{r}{4} - \frac{r}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1, 4, 3 : 12

1, 4, 3

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

1

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Berechne eine Zahl, die aus Faktoren besteht, welche in mindestens einem der folgenden Elemente auftaucht:

1, 4, 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{2 x}{1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

12

\frac{2 x}{1} = \frac{2 x \cdot 12}{1 \cdot 12} = \frac{24 x}{12}

Für

\frac{r}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{r}{4} = \frac{r \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{r \cdot 3}{12}

Für

\frac{r}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

4

\frac{r}{3} = \frac{r \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{r \cdot 4}{12}

= \frac{24 x}{12} + \frac{r \cdot 3}{12} - \frac{r \cdot 4}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{24 x + r \cdot 3 - r \cdot 4}{12}

Addiere gleiche Elemente:

3 r - 4 r = - r

= \frac{24 x - r}{12}

= \frac{\frac{24 x - r}{12}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{24 x - r}{12 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

12 \cdot 2 = 24

= \frac{24 x - r}{24}

= 2 sin (\frac{24 x - r}{24}) cos (\frac{x - ( x - \frac{r}{3} ) + \frac{r}{4}}{2})

\frac{x + \frac{r}{4} - ( x - \frac{r}{3} )}{2} = \frac{7 r}{24}

\frac{x + \frac{r}{4} - ( x - \frac{r}{3} )}{2}

Füge

x + \frac{r}{4} - (x - \frac{r}{3})

zusammen:

\frac{7 r}{12}

x + \frac{r}{4} - (x - \frac{r}{3})

Wandle das Element in einen Bruch um:

x = \frac{x 4}{4}, (x - \frac{r}{3}) = \frac{( x - \frac{r}{3} ) 4}{4}

= \frac{x \cdot 4}{4} + \frac{r}{4} - \frac{( x - \frac{r}{3} ) \cdot 4}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 4 + r - ( x - \frac{r}{3} ) \cdot 4}{4}

Multipliziere aus

x \cdot 4 + r - (x - \frac{r}{3}) \cdot 4 : \frac{4 r}{3} + r

x \cdot 4 + r - (x - \frac{r}{3}) \cdot 4

= 4 x + r - 4 (x - \frac{r}{3})

Multipliziere aus

- 4 (x - \frac{r}{3}) : - 4 x + \frac{4 r}{3}

- 4 (x - \frac{r}{3})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = x, c = \frac{r}{3}

= - 4 x - (- 4) \frac{r}{3}

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 4 x + 4 \cdot \frac{r}{3}

Multipliziere

4 \cdot \frac{r}{3} : \frac{4 r}{3}

4 \cdot \frac{r}{3}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{r \cdot 4}{3}

= - 4 x + \frac{4 r}{3}

= x \cdot 4 + r - 4 x + \frac{4 r}{3}

Vereinfache

x \cdot 4 + r - 4 x + \frac{4 r}{3} : \frac{4 r}{3} + r

x \cdot 4 + r - 4 x + \frac{4 r}{3}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 4 x - 4 x + \frac{4 r}{3} + r

Addiere gleiche Elemente:

4 x - 4 x = 0

= \frac{4 r}{3} + r

= \frac{4 r}{3} + r

= \frac{\frac{4 r}{3} + r}{4}

Füge

\frac{4 r}{3} + r

zusammen:

\frac{7 r}{3}

\frac{4 r}{3} + r

Wandle das Element in einen Bruch um:

r = \frac{r 3}{3}

= \frac{4 r}{3} + \frac{r \cdot 3}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 r + r \cdot 3}{3}

Addiere gleiche Elemente:

4 r + 3 r = 7 r

= \frac{7 r}{3}

= \frac{\frac{7 r}{3}}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{7 r}{3 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 4 = 12

= \frac{7 r}{12}

= \frac{\frac{7 r}{12}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{7 r}{12 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

12 \cdot 2 = 24

= \frac{7 r}{24}

= 2 cos (\frac{7 r}{24}) sin (\frac{24 x - r}{24})

= 2 cos (\frac{7 r}{24}) sin (\frac{24 x - r}{24})

2 cos (\frac{7 r}{24}) sin (\frac{24 x - r}{24}) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

sin (\frac{24 x - r}{24}) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{24 x - r}{24}) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{24 x - r}{24} = 0 + 2 πn, \frac{24 x - r}{24} = π + 2 πn

\frac{24 x - r}{24} = 0 + 2 πn, \frac{24 x - r}{24} = π + 2 πn

Löse

\frac{24 x - r}{24} = 0 + 2 πn : x = 2 πn + \frac{r}{24}

\frac{24 x - r}{24} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{24 x - r}{24} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

24

\frac{24 x - r}{24} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

24

\frac{24 ( 24 x - r )}{24} = 24 \cdot 2 πn

Vereinfache

24 x - r = 48 πn

24 x - r = 48 πn

Verschiebe

r

auf die rechte Seite

24 x - r = 48 πn

Füge

r

zu beiden Seiten hinzu

24 x - r + r = 48 πn + r

Vereinfache

24 x = 48 πn + r

24 x = 48 πn + r

Teile beide Seiten durch

24

24 x = 48 πn + r

Teile beide Seiten durch

24

\frac{24 x}{24} = \frac{48 πn}{24} + \frac{r}{24}

Vereinfache

x = 2 πn + \frac{r}{24}

x = 2 πn + \frac{r}{24}

Löse

\frac{24 x - r}{24} = π + 2 πn : x = π + 2 πn + \frac{r}{24}

\frac{24 x - r}{24} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

24

\frac{24 x - r}{24} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

24

\frac{24 ( 24 x - r )}{24} = 24 π + 24 \cdot 2 πn

Vereinfache

24 x - r = 24 π + 48 πn

24 x - r = 24 π + 48 πn

Verschiebe

r

auf die rechte Seite

24 x - r = 24 π + 48 πn

Füge

r

zu beiden Seiten hinzu

24 x - r + r = 24 π + 48 πn + r

Vereinfache

24 x = 24 π + 48 πn + r

24 x = 24 π + 48 πn + r

Teile beide Seiten durch

24

24 x = 24 π + 48 πn + r

Teile beide Seiten durch

24

\frac{24 x}{24} = \frac{24 π}{24} + \frac{48 πn}{24} + \frac{r}{24}

Vereinfache

\frac{24 x}{24} = \frac{24 π}{24} + \frac{48 πn}{24} + \frac{r}{24}

Vereinfache

\frac{24 x}{24} : x

\frac{24 x}{24}

Teile die Zahlen:

\frac{24}{24} = 1

= x

Vereinfache

\frac{24 π}{24} + \frac{48 πn}{24} + \frac{r}{24} : π + 2 πn + \frac{r}{24}

\frac{24 π}{24} + \frac{48 πn}{24} + \frac{r}{24}

Teile die Zahlen:

\frac{24}{24} = 1

= π + \frac{48 πn}{24} + \frac{r}{24}

Teile die Zahlen:

\frac{48}{24} = 2

= π + 2 πn + \frac{r}{24}

x = π + 2 πn + \frac{r}{24}

x = π + 2 πn + \frac{r}{24}

x = π + 2 πn + \frac{r}{24}

x = 2 πn + \frac{r}{24}, x = π + 2 πn + \frac{r}{24}

Graph

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