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Beliebt Trigonometrie >

1/((sec^2(a)))+1/((cos^2(a)))=1

Lösung

\frac{1}{( sec ^{2} ( a ) )} + \frac{1}{( cos ^{2} ( a ) )} = 1

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r a \in R

Schritte zur Lösung

\frac{1}{( sec ^{2} ( a ) )} + \frac{1}{( cos ^{2} ( a ) )} = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

\frac{1}{sec ^{2} ( a )} + \frac{1}{cos ^{2} ( a )} - 1 = 0

Vereinfache

\frac{1}{sec ^{2} ( a )} + \frac{1}{cos ^{2} ( a )} - 1 : \frac{cos ^{2} ( a ) + sec ^{2} ( a ) - sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}

\frac{1}{sec ^{2} ( a )} + \frac{1}{cos ^{2} ( a )} - 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1}{1}

= \frac{1}{sec ^{2} ( a )} + \frac{1}{cos ^{2} ( a )} - \frac{1}{1}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sec^{2} (a), cos^{2} (a), 1 : sec^{2} (a) cos^{2} (a)

sec^{2} (a), cos^{2} (a), 1

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die in mindestens einem der faktoriserten Ausdrücke vorkommt.

= sec^{2} (a) cos^{2} (a)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sec^{2} (a) cos^{2} (a)

Für

\frac{1}{sec ^{2} ( a )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos^{2} (a)

\frac{1}{sec ^{2} ( a )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )} = \frac{cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}

Für

\frac{1}{cos ^{2} ( a )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sec^{2} (a)

\frac{1}{cos ^{2} ( a )} = \frac{1 \cdot sec ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a ) sec ^{2} ( a )} = \frac{sec ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}

Für

\frac{1}{1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sec^{2} (a) cos^{2} (a)

\frac{1}{1} = \frac{1 \cdot sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}{1 \cdot sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )} = \frac{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}

= \frac{cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )} + \frac{sec ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )} - \frac{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( a ) + sec ^{2} ( a ) - sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}

\frac{cos ^{2} ( a ) + sec ^{2} ( a ) - sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (a) + sec^{2} (a) - sec^{2} (a) cos^{2} (a) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (a) + sec^{2} (a) - cos^{2} (a) sec^{2} (a)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= (\frac{1}{sec ( a )})^{2} + sec^{2} (a) - (\frac{1}{sec ( a )})^{2} sec^{2} (a)

Vereinfache

(\frac{1}{sec ( a )})^{2} + sec^{2} (a) - (\frac{1}{sec ( a )})^{2} sec^{2} (a) : \frac{1}{sec ^{2} ( a )} + sec^{2} (a) - 1

(\frac{1}{sec ( a )})^{2} + sec^{2} (a) - (\frac{1}{sec ( a )})^{2} sec^{2} (a)

(\frac{1}{sec ( a )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( a )}

(\frac{1}{sec ( a )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( a )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( a )}

(\frac{1}{sec ( a )})^{2} sec^{2} (a) = 1

(\frac{1}{sec ( a )})^{2} sec^{2} (a)

(\frac{1}{sec ( a )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( a )}

(\frac{1}{sec ( a )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( a )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( a )}

= \frac{1}{sec ^{2} ( a )} sec^{2} (a)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sec ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sec^{2} (a)

= 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( a )} + sec^{2} (a) - 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( a )} + sec^{2} (a) - 1

- 1 + \frac{1}{sec ^{2} ( a )} + sec^{2} (a) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + \frac{1}{sec ^{2} ( a )} + sec^{2} (a) = 0

Angenommen:

sec (a) = u

- 1 + \frac{1}{u ^{2}} + u^{2} = 0

- 1 + \frac{1}{u ^{2}} + u^{2} = 0 : u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

- 1 + \frac{1}{u ^{2}} + u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

- 1 + \frac{1}{u ^{2}} + u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

- 1 \cdot u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + u^{2} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Vereinfache

- 1 \cdot u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + u^{2} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Vereinfache

- 1 \cdot u^{2} : - u^{2}

- 1 \cdot u^{2}

Multipliziere:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= - u^{2}

Vereinfache

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u^{2}

= 1

Vereinfache

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Vereinfache

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- u^{2} + 1 + u^{4} = 0

- u^{2} + 1 + u^{4} = 0

- u^{2} + 1 + u^{4} = 0

Löse

- u^{2} + 1 + u^{4} = 0 : u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

- u^{2} + 1 + u^{4} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a = 0

u^{4} - u^{2} + 1 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

x = u^{2}

und

x^{2} = u^{4}

x^{2} - x + 1 = 0

Löse

x^{2} - x + 1 = 0 : x = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, x = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

x^{2} - x + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

x^{2} - x + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 1, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

Vereinfache

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 : 3 i

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 4 = - 3

= - 3

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 3 = - 1 3

= - 1 3

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 3 i

x_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3 i}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

x_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3 i}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3 i}{2 \cdot 1}

x = \frac{- ( - 1 ) + 3 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 3 i}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 3 i}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 3 i}{2}

Schreibe

\frac{1 + 3 i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

\frac{1 + 3 i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 3 i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

x = \frac{- ( - 1 ) - 3 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3 i}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 3 i}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 3 i}{2}

Schreibe

\frac{1 - 3 i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

\frac{1 - 3 i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - 3 i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

x = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, x = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

x = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, x = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Setze

x = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2} : u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

u^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Ersetze

u = x + y i

(x + y i)^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Schreibe

(x + y i)^{2}

um:

(x^{2} - y^{2}) + 2 i x y

(x + y i)^{2}

= (x + i y)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = x, b = y i

= x^{2} + 2 x y i + (y i)^{2}

(y i)^{2} = - y^{2}

(y i)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} y^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) y^{2}

Fasse zusammen

= - y^{2}

= x^{2} + 2 i x y - y^{2}

Schreibe

x^{2} + 2 i x y - y^{2}

in der Standard komplexen Form um:

(x^{2} - y^{2}) + 2 x y i

x^{2} + 2 i x y - y^{2}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i

= (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i

(x^{2} - y^{2}) + 2 i x y = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Komplexe Zahlen können nur gleich sein wenn ihre realen und imaginären Teile gleich sind.Schreibe als Gleichungssystem um

[x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} 2 x y = \frac{3}{2}]

[x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} 2 x y = \frac{3}{2}] : (x = \frac{3}{2}, x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} y = - \frac{1}{2})

[x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} 2 x y = \frac{3}{2}]

Stelle

x

nach

2 x y = \frac{3}{2}

um:

x = \frac{3}{4 y}

2 x y = \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 y

2 x y = \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 y

\frac{2 x y}{2 y} = \frac{\frac{3}{2}}{2 y}

Vereinfache

\frac{2 x y}{2 y} = \frac{\frac{3}{2}}{2 y}

Vereinfache

\frac{2 x y}{2 y} : x

\frac{2 x y}{2 y}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{x y}{y}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

y

= x

Vereinfache

\frac{\frac{3}{2}}{2 y} : \frac{3}{4 y}

\frac{\frac{3}{2}}{2 y}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 \cdot 2 y}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4 y}

x = \frac{3}{4 y}

x = \frac{3}{4 y}

x = \frac{3}{4 y}

Setze die Lösungen

x = \frac{3}{4 y}

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

ein

Für

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

, ersetze

x

mit

\frac{3}{4 y} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Für

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

, ersetze

x

mit

\frac{3}{4 y}

(\frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Löse

(\frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

(\frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

(\frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

(\frac{3}{4 y})^{2} : \frac{3}{16 y ^{2}}

(\frac{3}{4 y})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 4 y ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(4 y)^{2} = 4^{2} y^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{4 ^{2} y ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{4 ^{2} y ^{2}}

4^{2} = 16

= \frac{3}{16 y ^{2}}

\frac{3}{16 y ^{2}} - y^{2} = \frac{1}{2}

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

16 y^{2}, 2 : 16 y^{2}

16 y^{2}, 2

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

16, 2 : 16

16, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

16 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

16

oder

2

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

16 y^{2}

oder

2

auftauchen.

= 16 y^{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

16 y^{2}

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2} - y^{2} \cdot 16 y^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 y^{2}

Vereinfache

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2} - y^{2} \cdot 16 y^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 y^{2}

Vereinfache

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2} : 3

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 16 y ^{2}}{16 y ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

16

= \frac{3 y ^{2}}{y ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

y^{2}

= 3

Vereinfache

- y^{2} \cdot 16 y^{2} : - 16 y^{4}

- y^{2} \cdot 16 y^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

y^{2} y^{2} = y^{2 + 2}

= - 16 y^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= - 16 y^{4}

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 16 y^{2} : 8 y^{2}

\frac{1}{2} \cdot 16 y^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 16}{2} y^{2}

\frac{1 \cdot 16}{2} = 8

\frac{1 \cdot 16}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 16 = 16

= \frac{16}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{16}{2} = 8

= 8

= 8 y^{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

Löse

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

Verschiebe

8 y^{2}

auf die linke Seite

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

Subtrahiere

8 y^{2}

von beiden Seiten

3 - 16 y^{4} - 8 y^{2} = 8 y^{2} - 8 y^{2}

Vereinfache

3 - 16 y^{4} - 8 y^{2} = 0

3 - 16 y^{4} - 8 y^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a = 0

- 16 y^{4} - 8 y^{2} + 3 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

u = y^{2}

und

u^{2} = y^{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Löse

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 16, b = - 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3 = 16

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 16 \cdot 3 = 192

= 8^{2} + 192

8^{2} = 64

= 64 + 192

Addiere die Zahlen:

64 + 192 = 256

= 256

Faktorisiere die Zahl:

256 = 1 6^{2}

= 1 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 6^{2} = 16

= 16

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 16}{2 ( - 16 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )} : - \frac{3}{4}

\frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 16}{- 2 \cdot 16}

Addiere die Zahlen:

8 + 16 = 24

= \frac{24}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{24}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{3}{4}

u = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 16}{- 2 \cdot 16}

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 16 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 8}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

Setze

u = y^{2} w i e d er e in,

löse für

y

Löse

y^{2} = - \frac{3}{4} :

Keine Lösung für

y \in R

y^{2} = - \frac{3}{4}

x^{2}

kann nicht negativ sein für

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r y \in R

Löse

y^{2} = \frac{1}{4} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

y^{2} = \frac{1}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

y = \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{1}{2}

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Die Lösungen sind

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

y = 0

Nimm den/die Nenner von

(\frac{3}{4 y})^{2} - y^{2}

und vergleiche mit Null

Löse

4 y = 0 : y = 0

4 y = 0

Teile beide Seiten durch

4

4 y = 0

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}

Vereinfache

y = 0

y = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

y = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Setze die Lösungen

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

2 x y = \frac{3}{2}

ein

Für

2 x y = \frac{3}{2}

, ersetze

y

mit

\frac{1}{2} : x = \frac{3}{2}

Für

2 x y = \frac{3}{2}

, ersetze

y

mit

\frac{1}{2}

2 x \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Löse

2 x \frac{1}{2} = \frac{3}{2} : x = \frac{3}{2}

2 x \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

\frac{1 \cdot 2}{2} x = \frac{3}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

x \cdot 1 = \frac{3}{2}

Multipliziere:

x \cdot 1 = x

x = \frac{3}{2}

Für

2 x y = \frac{3}{2}

, ersetze

y

mit

- \frac{1}{2} : x = - \frac{3}{2}

Für

2 x y = \frac{3}{2}

, ersetze

y

mit

- \frac{1}{2}

2 x (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Löse

2 x (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} : x = - \frac{3}{2}

2 x (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 (- \frac{1}{2})

2 x (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 (- \frac{1}{2})

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} : x

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 x \frac{1}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 x \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

2 x \frac{1}{2} : x

2 x \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 x}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1 \cdot x

Multipliziere:

1 \cdot x = x

= x

= \frac{x}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= \frac{x}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= x

Vereinfache

\frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )} : - \frac{3}{2}

\frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{\frac{3}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}

= - \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

4 \cdot \frac{1}{2} : 2

4 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2

= - \frac{3}{2}

x = - \frac{3}{2}

x = - \frac{3}{2}

x = - \frac{3}{2}

Verifiziere die Lösungen, in dem du sie in die Original-Gleichungen einsetzt.

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

x = - \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2} :

Wahr

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Setze ein

x = - \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2}

(- \frac{3}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Fasse zusammen

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösung

x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} :

Wahr

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Setze ein

x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}

(\frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Fasse zusammen

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 x y = \frac{3}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

x = - \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2} :

Wahr

2 x y = \frac{3}{2}

Setze ein

x = - \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2}

2 (- \frac{3}{2}) (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Fasse zusammen

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösung

x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} :

Wahr

2 x y = \frac{3}{2}

Setze ein

x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Fasse zusammen

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Wahr

Deshalb sind die finalen Lösungen für

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}, 2 x y = \frac{3}{2}

(x = \frac{3}{2}, x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} y = - \frac{1}{2})

Setze in

u = x + y i

ein

u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Löse

u^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2} : u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

u^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Ersetze

u = x + y i

(x + y i)^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Schreibe

(x + y i)^{2}

um:

(x^{2} - y^{2}) + 2 i x y

(x + y i)^{2}

= (x + i y)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = x, b = y i

= x^{2} + 2 x y i + (y i)^{2}

(y i)^{2} = - y^{2}

(y i)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} y^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) y^{2}

Fasse zusammen

= - y^{2}

= x^{2} + 2 i x y - y^{2}

Schreibe

x^{2} + 2 i x y - y^{2}

in der Standard komplexen Form um:

(x^{2} - y^{2}) + 2 x y i

x^{2} + 2 i x y - y^{2}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i

= (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i

(x^{2} - y^{2}) + 2 i x y = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Komplexe Zahlen können nur gleich sein wenn ihre realen und imaginären Teile gleich sind.Schreibe als Gleichungssystem um

[x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} 2 x y = - \frac{3}{2}]

[x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} 2 x y = - \frac{3}{2}] : (x = - \frac{3}{2}, x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} y = - \frac{1}{2})

[x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} 2 x y = - \frac{3}{2}]

Stelle

x

nach

2 x y = - \frac{3}{2}

um:

x = - \frac{3}{4 y}

2 x y = - \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 y

2 x y = - \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 y

\frac{2 x y}{2 y} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 y}

Vereinfache

\frac{2 x y}{2 y} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 y}

Vereinfache

\frac{2 x y}{2 y} : x

\frac{2 x y}{2 y}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{x y}{y}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

y

= x

Vereinfache

\frac{- \frac{3}{2}}{2 y} : - \frac{3}{4 y}

\frac{- \frac{3}{2}}{2 y}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2}}{2 y}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{3}{2}}{2 y} = \frac{3}{2 \cdot 2 y}

= - \frac{3}{2 \cdot 2 y}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - \frac{3}{4 y}

x = - \frac{3}{4 y}

x = - \frac{3}{4 y}

x = - \frac{3}{4 y}

Setze die Lösungen

x = - \frac{3}{4 y}

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

ein

Für

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

, ersetze

x

mit

- \frac{3}{4 y} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Für

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

, ersetze

x

mit

- \frac{3}{4 y}

(- \frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Löse

(- \frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

(- \frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

(- \frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

(- \frac{3}{4 y})^{2} : \frac{3}{16 y ^{2}}

(- \frac{3}{4 y})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{3}{4 y})^{2} = (\frac{3}{4 y})^{2}

= (\frac{3}{4 y})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 4 y ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(4 y)^{2} = 4^{2} y^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{4 ^{2} y ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{4 ^{2} y ^{2}}

4^{2} = 16

= \frac{3}{16 y ^{2}}

\frac{3}{16 y ^{2}} - y^{2} = \frac{1}{2}

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

16 y^{2}, 2 : 16 y^{2}

16 y^{2}, 2

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

16, 2 : 16

16, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

16 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

16

oder

2

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

16 y^{2}

oder

2

auftauchen.

= 16 y^{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

16 y^{2}

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2} - y^{2} \cdot 16 y^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 y^{2}

Vereinfache

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2} - y^{2} \cdot 16 y^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 y^{2}

Vereinfache

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2} : 3

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 16 y ^{2}}{16 y ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

16

= \frac{3 y ^{2}}{y ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

y^{2}

= 3

Vereinfache

- y^{2} \cdot 16 y^{2} : - 16 y^{4}

- y^{2} \cdot 16 y^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

y^{2} y^{2} = y^{2 + 2}

= - 16 y^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= - 16 y^{4}

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 16 y^{2} : 8 y^{2}

\frac{1}{2} \cdot 16 y^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 16}{2} y^{2}

\frac{1 \cdot 16}{2} = 8

\frac{1 \cdot 16}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 16 = 16

= \frac{16}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{16}{2} = 8

= 8

= 8 y^{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

Löse

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

Verschiebe

8 y^{2}

auf die linke Seite

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

Subtrahiere

8 y^{2}

von beiden Seiten

3 - 16 y^{4} - 8 y^{2} = 8 y^{2} - 8 y^{2}

Vereinfache

3 - 16 y^{4} - 8 y^{2} = 0

3 - 16 y^{4} - 8 y^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a = 0

- 16 y^{4} - 8 y^{2} + 3 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

u = y^{2}

und

u^{2} = y^{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Löse

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 16, b = - 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3 = 16

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 16 \cdot 3 = 192

= 8^{2} + 192

8^{2} = 64

= 64 + 192

Addiere die Zahlen:

64 + 192 = 256

= 256

Faktorisiere die Zahl:

256 = 1 6^{2}

= 1 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 6^{2} = 16

= 16

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 16}{2 ( - 16 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )} : - \frac{3}{4}

\frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 16}{- 2 \cdot 16}

Addiere die Zahlen:

8 + 16 = 24

= \frac{24}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{24}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{3}{4}

u = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 16}{- 2 \cdot 16}

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 16 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 8}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

Setze

u = y^{2} w i e d er e in,

löse für

y

Löse

y^{2} = - \frac{3}{4} :

Keine Lösung für

y \in R

y^{2} = - \frac{3}{4}

x^{2}

kann nicht negativ sein für

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r y \in R

Löse

y^{2} = \frac{1}{4} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

y^{2} = \frac{1}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

y = \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{1}{2}

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Die Lösungen sind

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

y = 0

Nimm den/die Nenner von

(- \frac{3}{4 y})^{2} - y^{2}

und vergleiche mit Null

Löse

4 y = 0 : y = 0

4 y = 0

Teile beide Seiten durch

4

4 y = 0

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}

Vereinfache

y = 0

y = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

y = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Setze die Lösungen

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

2 x y = - \frac{3}{2}

ein

Für

2 x y = - \frac{3}{2}

, ersetze

y

mit

\frac{1}{2} : x = - \frac{3}{2}

Für

2 x y = - \frac{3}{2}

, ersetze

y

mit

\frac{1}{2}

2 x \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Löse

2 x \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} : x = - \frac{3}{2}

2 x \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

\frac{1 \cdot 2}{2} x = - \frac{3}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

x \cdot 1 = - \frac{3}{2}

Multipliziere:

x \cdot 1 = x

x = - \frac{3}{2}

Für

2 x y = - \frac{3}{2}

, ersetze

y

mit

- \frac{1}{2} : x = \frac{3}{2}

Für

2 x y = - \frac{3}{2}

, ersetze

y

mit

- \frac{1}{2}

2 x (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Löse

2 x (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} : x = \frac{3}{2}

2 x (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 (- \frac{1}{2})

2 x (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 (- \frac{1}{2})

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} : x

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 x \frac{1}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 x \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

2 x \frac{1}{2} : x

2 x \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 x}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1 \cdot x

Multipliziere:

1 \cdot x = x

= x

= \frac{x}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= \frac{x}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= x

Vereinfache

\frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )} : \frac{3}{2}

\frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- \frac{3}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

4 \cdot \frac{1}{2} : 2

4 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

x = \frac{3}{2}

x = \frac{3}{2}

x = \frac{3}{2}

Verifiziere die Lösungen, in dem du sie in die Original-Gleichungen einsetzt.

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

x = \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2} :

Wahr

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Setze ein

x = \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2}

(\frac{3}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Fasse zusammen

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösung

x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} :

Wahr

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Setze ein

x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}

(- \frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Fasse zusammen

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 x y = - \frac{3}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

x = \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2} :

Wahr

2 x y = - \frac{3}{2}

Setze ein

x = \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{3}{2} (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Fasse zusammen

- \frac{3}{2} = - \frac{3}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösung

x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} :

Wahr

2 x y = - \frac{3}{2}

Setze ein

x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}

2 (- \frac{3}{2}) \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Fasse zusammen

- \frac{3}{2} = - \frac{3}{2}

Wahr

Deshalb sind die finalen Lösungen für

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}, 2 x y = - \frac{3}{2}

(x = - \frac{3}{2}, x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} y = - \frac{1}{2})

Setze in

u = x + y i

ein

u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Die Lösungen sind

u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Setze in

u = sec (a)

ein

sec (a) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sec (a) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, sec (a) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sec (a) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

sec (a) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sec (a) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, sec (a) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sec (a) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

sec (a) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i :

Keine Lösung

sec (a) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sec (a) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i :

Keine Lösung

sec (a) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sec (a) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i :

Keine Lösung

sec (a) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sec (a) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i :

Keine Lösung

sec (a) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r a \in R

Graph

Beliebte Beispiele

(1-cos(a))(1+cos(a))=tan(a)sin(a)

tan^2(x)+1/6+(tan(1))/3 =0

-2cos^2(x)-5sin(x)+5=0

3-4sin^3(x)=sin^3(x)

cos^4(x)= 3/8+1/2 cos^2(x)+1/8 cos^4(x)